Пусть требуется вычислить определенный интеграл
, (1)
где f(x) – непрерывная на отрезке [a; b] функция.
С геометрической точки зрения интеграл (1) при f(x) > 0 равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Oxи прямыми x = a, x = b(рис. 1). Другими словами, 
равен площади заштрихованной фигуры на рис. 1.
Рис. 1. Геометрический смысл определенного интеграла.
Вычислить определенный интеграл (1) можно с помощью аналитической формулы Ньютона-Лейбница (2):
, (2)
где F(x) – первообразная функция для заданной функции f(x).
Однако во многих случаях не удается найти никакой аналитической формулы в виду невозможности определения F(x).
Таким интегралом, например, является 
. (3)
В математическом анализе доказывается, что для данной подынтегральной функции нельзя выразить первообразную F(x) через элементарные функции. С другой стороны площадь криволинейной трапеции, задаваемой интегралом (3) существует (рис. 3). Значит, должно существовать и значение интеграла, которое, однако, мы не можем найти точно.
Рис. 2. График функции 
на отрезке [1; 3].
В таких случаях приходится применять методы численного интегрирования.
Основной принцип построения всех приближенных формул численного интегрирования состоит в том, что интервал интегрирования разбивается на множество меньших отрезков, внутри которых подынтегральная кривая y = f(x) заменяется с некоторой степенью точности более простыми функциями, интегралы от которых можно вычислить. С геометрической точки зрения выполняется следующее: искомая площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой площадей элементарных геометрических фигур.
Как говорилось выше, вычисление интеграла 
равносильно вычислению площади некоторой фигуры – криволинейной трапеции с параллельными «основаниями» x = a, x = bи «боковыми сторонами» y = 0, y = f(x) (рис. 1).
Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной 
.
Приближенное значение интеграла получается в виде суммы площадей n прямоугольников, высота которых равна значению f(x) на левом краю каждого подинтервала (рис. 3).
hy0+hy1+…+hyn-1 = h(y0+y1+…+yn-1). То есть формула численного интегрирования имеет вид:
(4)
и называется формулой «левых» прямоугольников.
Рис. 3. Геометрическая интерпретация метода «левых» прямоугольников.
Если в качестве приближенного значения площади для каждого подинтервала принять площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) на правом краю подинтервала (рис. 4), то формула численного интегрирования имеет вид (5):
(5)
и назыв
ается формулой «правых» прямоугольников.
Рис. 4. Геометрическая интерпретация метода «правых» прямоугольников.
Существует третья модификация метода прямоугольников – метод «средних» прямоугольников. В этом случае в качестве приближенного значения площади для каждого подинтервала принимается площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) в средней точке подинтервала (рис. 5).
Рис. 5. Геометрическая интерпретация метода «средних» прямоугольников.
Тогда формула численного интегрирования имеет вид (6):
(6)
Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (4)-(6). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.
В этом методе отрезок [a; b] так же разбивается на nравных частей. На каждом отрезке [xi; xi+1] кривая y = f(x) заменяется прямой, проходящей через две известные точки с координатами 
и 
, где
и строится прямоугольная трапеция с высотой 
(рис. 6).
Рис. 6. Геометрическая интерпретация метода трапеций.
В итоге искомая площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой площадей элементарных геометрических трапеций. (Площадь трапеции с высотой h и основаниями a, b вычисляется по формуле: 
). Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в методе прямоугольников.
Тогда 
вынесем h за скобку, получим
разобьем каждую дробь на две дроби
приведем подобные слагаемые, получим
.
Итак, 
.
Коротко полученную формулу можно записать в виде (7).
(7)
Заметим, что в данном методе получаем ступенчатую фигуру, составленную из трапеций, которая «плотнее» прилегает к заданной криволинейной трапеции, нежели фигура, составленная из прямоугольников в предыдущем методе.
Значительное повышение точности приближенных формул численного интегрирования дает метод парабол (Симпсона). Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает кривой y = f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой (метод трапеций). Поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, ограниченных сверху дугами парабол, являются более близкими к значениям площадей соответствующи
х частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y = f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций.
Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода парабол.
Рассмотрим функцию y = f(x). Будем считать, что на отрезке [a; b] она положительна и непрерывна. Найдем площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 7).
Для этого разделим отрезок [a, b] точкой c = 
пополам и в точке C(c, f(c)) проведем касательную к линии y = f(x). После этого разделим [a, b] точками p и q на три равные части и проведем через них прямые x = p и x = q. Пусть P и Q – точки пересечения этих прямых с касательной. Соединив A с P и B с Q, получим три прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Тогда площадь трапеции aABb можно приближенно посчитать по следующей формуле
,
где 
.
Откуда получаем
.
Заметим, что aA = f(a), bB = f(b), а pP + qQ = 2f(c) (как средняя линия трапеции), в итоге получаем малую формулу Симпсона
(8)
В данном случае дуга ACBзаменяется параболой, проходящей через точки A, P, Q, B.
Малая формула Симпсона дает интеграл с хорошей точностью, когда график подынтегральной функции мало изогнут, в случаях же, когда дана более сложная функция, малая формула Симпсона непригодна. Тогда, чтобы посчитать интеграл заданной функции нужно разбить отрезок [a, b] на n частей и к каждому из отрезков применить формулу (8).
Обязательным требованием, вытекающим из геометрического смысла метода парабол, является то, что n должно быть четным. Пусть 
, точки деления будут х0=а, x1, x2, …xn-2, xn-1, xn=b, а y0, y1, …yn – соответствующие значения подынтегральной функции на отрезке [a, b].
Тогда, применяя малую формулу Симпсона к каждой паре получившихся отрезков, имеем
Тогда 
. (9)
Заметим, что во всех выражениях 
первый множитель равен 
:
(10)
Сделав замену по формулам (10), вынося общий множитель 
за скобку, в (9) получаем:
группируем слагаемые
.
Таким образом, получаем «большую» формулу Симпсона, которая имеет вид:
(11)
Предлагаем для запоминания следующий вид формулы:
(11’)
где Yкр = y0 + yn, Yнеч = y1 + y3 + … + yn-1, Yчет = y2 + y4 + … + yn-2, а 
.
program one;
uses crt;
var x,y,h,a,s,b,n,e:real;
begin
clrscr;
writeln('vvedite nachalo,konec otrezka i kol-vo intervalov.');
readln(a,b,n);
x:=sqrt(b-b*b*b/3-a+a*a*a/3);
e:=(b-a)/n;
a:=a+e/2;
s:=0;
while a<b do begin
y:=sqrt(1-a*a);
s:=s+y*e;
a:=a+e;
end;
writeln('Square= ',s:10:6);
writeln('A po idee ravno= ',x:10:6);
readln;
end.
program simpson_method;
var a,b,h,y,x,ya,yb,yc,s,c:real; n:integer;
begin
y:=sqrt(x*x*x + 1);
writeln ('vvedi nachalo otrezka');
readln(a);
writeln ('vvedi konec otrezka');
readln(b);
yc:=0;
yb:=0;
ya:=0;
c:=(b-a)/2;
x:=c;
y:=sqrt(x*x*x + 1);
yc:=yc+y;
x:=b;
y:=sqrt(x*x*x + 1);
yb:=yb+y;
x:=a;
y:=sqrt(x*x*x + 1);
ya:=ya+y;
s:= ((b-a)/6)*(ya+ 4*yc + yb);
writeln('square =' , s);
end.
program three;
uses crt;
var x,y,h,a,s,b,n,e:real;
begin
clrscr;
writeln('vvedite nachalo,konec otrezka i kol-vo intervalov.');
readln(a,b,n);
x:=(sqrt(b*b*b)-sqrt(a*a*a))*2/3;
e:=(b-a)/n;
a:=a+e/2;
s:=0;
while a<b do begin
y:=sqrt(a);
s:=s+y*e;
a:=a+e;
end;
writeln('Square= ',s:10:6);
writeln('A po idee ravno= ',x:10:6);
readln;
end.
